第149页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解：设$∠BAE=x$

∵$ ∠CAE$与$∠EAB$的度数之比为$=4∶1 $，$∠BAE=x$

∴$ ∠CAE=4x$

∵$ DE$是$AB$的垂直平分线

∴$AE=BE$

∴$∠BAE=∠CBA$

∵$ ∠BAE=x $，$∠BAE=∠CBA$

∴$ ∠CBA=x$

∵$ ∠ACB=90°$

∴$∠BAC+∠CBA=90°$

∴$ 4x+x+x=90°$，即：$x=15°$

故$∠B$的度数为$15°.$

解：∵$AD⊥BC$

∴$∠D={90}°$

∴$AB^2-BD^2=AD^2$，$AC^2-CD^2=AD^2$

∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$

设$CD=x$

∵$BC=9$

∴$BD=9+x$

∵$AB=17$，$AC=10$

∴${17}^2-{(9+x)}^2={10}^2-x^2$

解得$x=6$

∴$CD=6$

∴$AD^2={10}^2-6^2=64$

∴$AD=8$

∴$AD$的长是$8.$

解：$(1)\ \mathrm {BH}=AC$

∵$C D⊥A B$，$ B E⊥A C$

∴$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$

∵$∠ABC=45°$

∴$∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC$

∴$DB=DC$

∵$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$

∴$∠A+∠ACD=90°$，$∠A+∠HBD=90°$

∴$∠HBD=∠ A C D$，

在$△DBH $和$ △DCA $中

$\begin {cases}{∠B D H=∠C D A}\\{ B D=C D}\\{ ∠H B D=∠A C D}\end {cases}$

∴$△DBH ≌△DCA(\mathrm {ASA})$

∴$BH=AC$

$(2)$证明：连接$CG$

由$ (1)$知，$ D B=C D $

∵$F $为$BC $的中点

∴$D F $垂直平分$BC$

∴$B G=C G$

∵$∠ABE=∠CBE$，$BE⊥AC$

∴$EC=EA$

在$Rt△C G E $中，由勾股定理得：$C G^2-G E^2=C E^2$

∵$ C E=A E$，$ B G=C G$

∴$B G^2-GE^2=AE^2$

证明：$ (1)$∵$△A B C$为等边三角形$ $

∴$AB=CA=BC$，$ ∠BAE=∠ACD=60° $

在$△ABE$和$△CAD$中

$\begin {cases}{A B=C A}\\{∠B A E=∠A C D }\\{A E=C D}\end {cases}$

∴$△ABE≌△CAD(\mathrm {SAS}) $

∴$AD=BE$

$ (2)$解$ ∶ $∵$△A B E ≌△C A D $

∴$∠CAD=∠ABE$

∴$∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60° $

∵$BQ ⊥ AD$

∴$∠AQB=90°$

∴$∠PBQ=90°-60°=30° $

∵$PQ=3$，$ $在$ Rt△ BPQ{中}$，$ BP=2\ \mathrm {PQ}=6$

又 ∵$P E=1 $

∴$AD=BE=BP+PE=6+1=7$