第150页 - 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册）

解：$(1) △ABP≌△DCP $；$△BEP≌△CFP $；$△BFP≌△CEP$

$(2)$证明： ∵$AD / / BC$，$ AB=DC$

∴四边形$ABCD$为等腰梯形

∴$∠BAD=∠CDA$，$ ∠ABE=∠DCF$

又∵$P A=P D$，

∴$∠PAD=∠PDA$，

∴$∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA$，即$ ∠BAP=∠CDP$

在$△ABE$和$△DCF{中}$

$\begin {cases}{∠B A P=∠C D P }\\{A B=D C }\\{∠A B E=∠D C F}\end {cases}$

∴$△ABE ≌△DCF(\mathrm {ASA})$

证明：$(1)$∵$BE⊥AC$，$CD⊥AB$

∴$∠ADC=∠AEB=90°$

在$△ADC$和$△AEB$中

$\begin {cases}{∠A=∠A}\\{∠ADC=∠AEB}\\{AC=AB}\end {cases}$

∴$△ADC≌△AEB(\mathrm {AAS})$

∴$AD=AE.$

$(2)AO$垂直平分$BC$，理由如下：

∵$AB=AC$

∴$∠ABC=∠ACB$

∵$△ADC≌△AEB$

∴$∠ABE=∠ACD$

∴$∠DCB=∠EBC$

∴$BO=CO$

又∵$AB=AC$

∴$AO$垂直平分$BC$

解：$(1)$正方形、矩形(答案不唯一)

$(2)①$∵将$△ABC$绕顶点$B$按顺时针方向旋转$60°$得到$△DBE$

∴$BC=BE$，$∠CBE=60°$

∴$△BCE$是等边三角形

②∵$△BCE$为等边三角形

∴$BC=CE$，$∠BCE=60°$

∵$∠DCB=30°$

∴$∠DCE=90°$

在$Rt△DCE$中：$DC^2+CE^2=DE^2$

根据旋转的性质易知：$DE=AC$

∴$DC^2+BC^2=AC^2$，即四边形$ABCD$是勾股四边形