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$证明:∵AB//CD,∴∠BAC=∠ECD$

$在△BAC和△ECD中$

${{\begin{cases} {{∠B=∠E}} \\ {∠BAC=∠ECD} \\ {AC=CD} \end{cases}}}$

$∴△BAC≌△ECD(AAS)$

$∴BC=ED$

$证明:(1)在△ADC和△BDE中$

${{\begin{cases} {{AD=BD}} \\ {∠ADC=∠BDE} \\ {DC=DE} \end{cases}}}$

$∴△ADC≌△BDE(SAS),∴∠A=∠B$

$(2)∵∠B+∠BED=90°,∠BED=∠AEF$

$又∵∠A=∠B,∴∠A+∠AEF=90°$

$∴∠AFE=90°$

$∴BF⊥AC$

$证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠BFA=90°$

$在Rt△ABF和Rt△CDE中$

${{\begin{cases} {{AB=CD}} \\ {BF=DE} \end{cases}}}$

$∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴AF=CE$

$(2)∵Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∠A=∠C$

$∴AB//CD$

$证明:(1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°$

$在Rt△BED和Rt△CFD中$

${{\begin{cases} {{BD=CD}} \\ {BE=CF} \end{cases}}}$

$∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴ED=FD$

$在Rt△AED和Rt△AFD中$

${{\begin{cases} {{AD=AD}} \\ {ED=FD} \end{cases}}}$

$∴Rt△AED≌Rt△AFD (HL),∴∠EAD=∠FAD$

$∴AD平分∠BAC$

$(2)结合(1)中证明可知,AE=AF,BE=CF$

$∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=2AE$