解：$(2)①$不变$ $
理由：根据题意，得$MN=MP-NP=\frac {1}{2}AP -\frac {1}{2}BP$
$=\frac {1}{2}×2t -\frac {1}{2}(2t-8)=4$，
所以线段$MN$的长度保持不变.$ $
②存在
当$B $是$MN $的中点时，$BN=\frac {1}{2}MN$，
所以$\frac {1}{2}(2t-8)=\frac {1}{2}×4$，
解得$t=6.$
当$M$是$BN$的中点时，$BN=2BM$，
所以$\frac {1}{2}(2t-8)=2(t-8)$，
解得$t=12.$
由题意知，$N$不可能是$BM$的中点$.$
综上所述，当$t $的值为$6$或$12$时，$M$，$N$，$B$三点中的某个点是其余两点所连线段的中点
