解：$(2)①$情况$1$：当$ME$在$EA$和$EP $之间时，如图①，
因为$∠AEP=30°$，$∠MEP=20°$，
所以$∠AEM=∠AEP-∠MEP=30°-20°=10°.$
所以射线$EM$运动的时间为$10÷15=\frac {2}{3}($秒$).$
所以射线$PN$旋转的角度为$\frac {2}{3}×40°=(\frac {80}{3})°$，即$∠FPN= (\frac {80}{3})°. $
又因为$∠EPF= 120°$，
所以$∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-(\frac {80}{3})$。$=(\frac {280}{3})°.$
情况$2$：当$ME$在$EP $和$EB$之间时，如图②，
因为$∠AEP=30°$，$∠MEP=20°$，
所以$∠AEM=∠AEP+∠MEP=30°+20°=50°.$
所以射线$EM$运动的时间为$50÷15=\frac {10}{3}($秒$).$
所以射线$PN$旋转的角度为$\frac {10}{3}×40°=(\frac {400}{3})°$，即$∠FPN=(\frac {400}{3})°.$
又因为$∠EPF=120°$，
所以$∠EPN=∠FPN-∠EPF=(\frac {400}{3})°-120°=(\frac {40}{3})°.$
综上所述，当$∠MEP=20°$时，$∠EPN$的度数为$(\frac {280}{3})°$或$(\frac {40}{3})°.$
