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证明：$(1)$因为$DF//AC$，

所以$∠CDF=∠ECD. $

因为$∠CDF+∠CEG=180°$，

所以$∠ECD +∠CEG=180°.$

所以$EG//CD$

$(2)$因为$DF//AC$，

所以$∠A=∠BDF$，

因为$∠A=40°$，

所以$∠BDF=40°. $

因为$ DF $是$∠BDC $的平分线，

所以$∠BDC=2∠BDF=80°.$

由$(1)$知，$EG//CD$，

所以$∠BGE=∠BDC=80°.$

42°或66°

解：$(2)①$如图$①$，当点$Q $在平行线$AB$，$CD$之间时，

设$∠PFQ=x.$

由折叠的性质，得$∠EFP=x.$

因为$∠CFQ=\frac {1}{2}∠PFC$，

所以$∠PFQ=∠CFQ=x. $

因为$AB//CD$，

所以$∠AEF+∠CFE=180°$，即$75°+x+x+x=180°.$

所以$x=35°.$

所以$∠EFP=35°.$

②如图②，当点$Q $在$CD$的下方时，设$∠CFQ=y.$

因为$∠CFQ=\frac {1}{2}∠PFC$，

所以$∠PFC=2y.$

所以$∠PFQ=3y.$

由折叠的性质，得$∠EFP=∠PFQ=3y. $

因为$AB//CD$，

所以$∠AEF+∠CFE=180°$，即$75°+2y+3y=180°.$

所以$y=21°.$

所以$∠EFP=3y=63°.$

综上所述，$∠EFP $的度数为$35°$或$63°.$

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解：$(2)$因为$OC⊥OD$，

所以$∠COD=90°.$

由题意，得$20t+90=120+5t$，解得$t=2$；

或$20t-90=120+5t$，解得$t=14.$

所以当$t $的值为$2$或$14$时，射线$OC⊥OD.$

$(3)$存在$.$

$①$当$OB$平分$∠COD$时，$∠COB=∠DOB$，

即$120-20t=5t$，解得$t=4.8.$

$②$当$OC$平分$∠BOD$时，$∠COB=∠COD$，

即$20t-120=5t+120-20t$，解得$t=\frac {48}{7}.$

$③$当$OD$平分$∠BOC$时，$∠DOB=∠DOC$，

即$5t=20t-120-5t$，解得$t=12.$

综上所述，当$t $的值为$4.8$或$\frac {48}{7}$或$12$时，射线$OC$，$OB$，$CD$中的某一条射线是

另两条射线所夹角的平分线$.$

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