解：$(2)$设运动时间为$x$秒$.$
根据题意，得点$P $表示的数为$-20+4.5x$，点$Q $表示的数为$10-3x$，
则$|(-20+4.5x)-(10-3x)|=\frac {1}{3}×|(-20)-10|.$
整理，得$|7.5x-30|=10$，从而$7.5x-30=10$或$7.5x-30=-10$，解得$x=\frac {16}{3}$或$x=\frac {8}{3}.$
∴运动时间为$\frac {16}{3}$秒或$\frac {8}{3}$秒$.$
$(3)$能$.$
点$P$，$Q $相遇时，点$M$表示的数为$-20+4×4.5=-2$
$($当$P$，$Q $两点重合时，线段$PQ $的中点$M$也与$P$，$Q $两点重合$).$
设从点$P$，$Q $相遇起经过的运动时间为$t $秒时，点$M$与原点重合$.$
$①$当点$P$，$Q $均沿数轴的正方向运动时，
$\frac {(-2+4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=\frac {8}{15}$，
此时点$M$能与原点重合，它沿数轴的正方向运动，运动速度为每秒$2÷\frac {8}{15}=\frac {15}{4}($个$)$单位长度$.$
$②$当点$P $沿数轴的正方向运动，点$Q $沿数轴的负方向运动时，
$\frac {(-2+4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=\frac {8}{3}$，
此时点$M$能与原点重合，它沿数轴的正方向运动，运动速度为每秒$2÷\frac {8}{3}=\frac {3}{4}($个$)$单位长度$.$
$③$当点$P $沿数轴的负方向运动，点$ Q $沿数轴的正方向运动时，
$\frac {(-2-4.5t)+(-2+3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac {8}{3}($不合题意，舍去)，
此时点$M$不能与原点重合$.$
$④$当点$P$，$Q $均沿数轴的负方向运动时，
$\frac {(-2-4.5t)+(-2-3t)}{2}=0$，解得$t=-\frac {8}{15}($不合题意，舍去)，
此时点$M$不能与原点重合$.$
综上，从点$P$，$Q $相遇起经过$\frac {8}{15}$秒，点$M$与原点重合，点$M$的运动方向为数轴的正方向，运
动速度为每秒$\frac {15}{4}$个单位长度；
或从点$P$，$Q $相遇起经过$\frac {8}{3}$秒，点$M$与原点重合，点$M$的运动方向为数轴的正方向，运动速度
为每秒$\frac {3}{4}$个单位长度$.$
