解：$(2)①$如图$①$，因为$∠COE=∠EOD=∠DOF$，$∠COE+∠EOD=∠COD=90°$，
所以$∠COE=∠EOD=45°.$
$ $所以$∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+45°=75° $
②根据题意，得$∠AOE=(4t)°$，$∠AOC=(30+t)°.$
如图②，记$OD$与$EF $的交点为$H.$
因为$OD⊥EF$，
所以$∠OHE=90°.$
又因为$∠E=45°$，
$ $所以$∠HOE=45°.$
又因为$∠COD=90°$，
所以$∠COE=45°.$
所以$∠AOE-∠AOC=45°$，即$(4t)°-(30+t)°=45°$，
解得$t=25.$
所以当$OD⊥EF $时，$t $的值为$25.$
