解：$(1)$解关于$m $的方程$\frac {1}{2}(m-16)=-5$，得$m=6.$
解关于$x$的方程$2(x-3)-n=3$，得$x=\frac {n+9}2.$
根据题意，得$\frac {n+9}{2}=6.$
解得$n=3.$
所以$m $的值为$6$，$n$的值为$3.$
$(2)$由$(1)$，得$AB=6$，$\frac {AP}{PB}=3$，即$AP=3PB.$
①如图①，当点$P $在线段$AB$上时，$PB=\frac {1}{4}AB=\frac {1}{4}×6=\frac {3}{2}.$
因为$Q $为$PB$的中点，
所以$BQ=\frac {1}{2}PB=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}=\frac {3}{4}.$
所以$AQ=AB-BQ=6-\frac {3}{4}=\frac {21}{4}.$
②如图②，当点$P $在线段$AB$的延长线上时，$PB=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×6=3.$
因为$Q $为$PB$的中点，
所以$BQ=\frac {1}{2}PB=\frac {1}{2}×3=\frac {3}{2}.$
所以$AQ=AB+BQ=6+\frac {3}{2}=\frac {15}{2}.$
综上所述，线段$AQ $的长为$\frac {21}{4}$或$\frac {15}{2}.$
