解：$(1)$因为$AC=\frac {1}{3}AD$，
所以$CD=\frac {2}{3}AD$，
因为$CD=4$，
所以$\frac {2}{3}AD=4$，
解得$AD=6$，
因为$D$是线段$AB$的$ $中点，
所以$AB=2AD=12.$
$(2)$因为$OD$是$∠AOC$的平分线，
所以$∠AOD=∠COD=14°$，$∠AOC= 2∠AOD=28°$，
所以$∠BOC=180°-∠AOC=152°$，
因为$OE$是$∠COB$的平分线，
所以$∠BOE=∠COE=\frac {1}{2}∠BOC=76°$，
所以$∠DOE=∠COD+∠COE=14°+76°=90°.$
