解：$(3)$若正方形框内第一行为奇数行，
设框出的四个数中最小的数为$x$，则另外三个数分别为$x+1$，$x+2$，$x+3$，
根据题意，得$x+x+1+x+2+x+3=2018$，解得$x=503$，
因为$503=4×125+3$，
所以$503$为第$126$行的自然数，不符合题意，舍去；
若正方形框内第一行为偶数行，
设框出的四个数中最小的数为$y$，则另外三个数分别为$y+1$，$y+6$，$y+7$，
根据题意，得$y+y+1+y+6+y+7=2018$，
解得$y=501$，
因为$501=4×125+1$，
所以$501$为第$126$行第$4$列的自然数，符合题意，
所以这四个数的和能为$2018$，框出的四个数中最小的数为$501.$
