解：$(1)$如图所示
∵$AC=AB+BC$，$AB=6\ \mathrm {cm}$，$BC=4\ \mathrm {cm}$
∴$AC=6+4=10(\mathrm {cm})$
又∵$D$为线段$AC$的中点
∴$DC=\frac 12\ \mathrm {A}C= \frac 12×10=5(\mathrm {cm})$
∴$DB=DC-BC=5-4=1(\mathrm {cm})$
$(2)$如图所示
设$BD=x\mathrm {cm}$
∵$BD=\frac 14\ \mathrm {A}B=\frac 13CD$
∴$AB=4BD=4x\mathrm {cm}$，$CD=3BD=3x\mathrm {cm}$
又∵$DC=DB+BC$
∴$BC=3x-x=2x(\mathrm {cm})$
又∵$AC=AB+BC$
∴$AC=4x+2x=6x(\mathrm {cm})$
∵$E$为线段$AB$的中点
∴$BE=\frac 12\ \mathrm {A}B=\frac 12×4x=2x(\mathrm {cm}) $
又∵$EC=BE+BC$
∴$EC=2x+2x=4x(\mathrm {cm})$
又∵$EC=12\ \mathrm {cm}$
∴$4x=12$，解得$x=3$
∴$AC=6x=6×3=18(\mathrm {cm})$
