第141页 - 初中数学七年级下册新课程自主学习与测评答案

解：∵$M$是$AB$中点，∴$AM=\frac 12\ \mathrm {A}B$

∵$N$是$AC$中点，∴$AN=\frac 12\ \mathrm {A}C$

得$MN=AM-AN=\frac 12(AB-AC)=1\ \mathrm {cm}$

解：由$(1)$得

$MN=\frac 12(AB-AC)=\frac 12BC=\frac {a}2\ \mathrm {cm}.$

解：$MN=\frac {a}2\ \mathrm {cm} $不变，理由如下：

当$C$在$AB$上时；$(2)$中已证得

当$C$在$AB$延长线上时，$AC=AB+BC$

∵$M$、$N$分别是$AB$、$AC$中点

∴$MN=AN-AM=\frac 12(AC-AB)$

$=\frac 12BC=\frac {a}2\ \mathrm {cm}$

当$C$在$BA$延长线上时，$BC=BA+AC$

∵$M$、$N$分别是$AB$、$AC$中点

∴$MN=AM+AN=\frac 12(AB+AC)$

$=\frac 12BC=\frac {a}2\ \mathrm {cm}$

综上所述，$MN=\frac {a}2\ \mathrm {cm} $不变

解：$(1)$∵$∠BON=2∠NOC$

∴可设$∠BON=2∠NOC=2α$

则$∠BOM=90°+2α$

∵$OC$平分$∠MOB$

∴$∠BOC=\frac 12∠MOB=45°+α$

则$3α=45°+α$，得$α=22.5°$

得$∠AOM=90°-∠BON=90°-2α=45°$

$(2)∠AOM=2∠NOC$，证明如下：

设$∠BON=2β$，则$∠BOM=90°+2β$

∵$OC$平分$∠BOM$

∴$∠BOC=\frac 12∠BOM=45°+β$

得$∠NOC=∠BOC-∠BON=45°-β$

而$∠AOM=90°-∠BON=90°-2β$

∴$∠AOM=2∠NOC$