解：$(1)$∵$∠BOC=20°$
∴$∠AOB=180°-∠BOC=160°$
∵$OD$平分$∠AOB$
∴$∠BOD=\frac 12∠AOB=80°$
$(2)①$设运动时间为$t $秒，则$0≤t≤180÷30=6$
以射线$OC$为起始边
则射线$OP $在$(20+10\ \mathrm {t})°$处、射线$OQ $在$10\ \mathrm {t}°$处
得$∠POQ $的平分线在$\frac {20+10\ \mathrm {t}+10\ \mathrm {t}}2$度即$(10\ \mathrm {t}+10)°$处
射线$OM$在$(180-30\ \mathrm {t})°$处
令$180-30\ \mathrm {t}=10\ \mathrm {t}+10$，得$t=\frac {17}4$
即运动时间为$\frac {17}4$秒时，
射线$OM$与$∠POQ $的平分线重合；
$②∠MOP=|160-40\ \mathrm {t}|°$，$∠MOQ=|180-40\ \mathrm {t}|°$
则$|160-40t|=\frac 12|180-40\ \mathrm {t}|$，
即$|160-40\ \mathrm {t}|=|90-20\ \mathrm {t}|$
得$160-40t=±(90-20t)$，解得$t=\frac 72$或$\frac {25}6$
得$∠AOM=30\ \mathrm {t}°=105°$或$125°$
即运动$\frac 72$秒或$\frac {25}6$秒时，$∠MOP=\frac 12∠MOQ$，
此时$∠AOM=105°$或$125°$
