$解：(1)[\frac{3}{2}]=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2},[-1]=-1+2=1$
$(2)因为a\gt 0,b\lt 0,[a]=[b],所以a-2=b+2，所以 a-b=4$
$故(b-a)^{3}-2a+2b=(b-a)^{3}-2(a-b)=(-4)^{3}-8=-72$
$(3)当x≥0时，方程为 2x-2+x+1-2=1，解得 x=\frac{4}{3} $
$当-1≤x\lt 0时，方程为2x+2+x+1-2=1，解得x=0(舍去)$
$当x\lt -1时，方程为2x+2+x+1+2=1，解得x=-\frac{4}{3}$
$故方程的解为x=±\frac{4}{3}$
