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$0＜m＜4$

$解:把A(2,4)代入y=ax²中，得4=4a，解得a=1.$

$∴抛物线对应的函数表达式为y=x².$

$设点C的横坐标为m(m＞0)，则易得CD=CE=2m.$

$∴点E的坐标为(m，4-2m).$

$∵点E在抛物线y=x²上，$

$∴m²=4-2m，$

$即m²+2m-4=0，$

$解得m_{1}=-1-\sqrt{5}(不合题意，舍去),m_{2}=-1+\sqrt{5}.$

$∴CD=2m=-2+2\sqrt{5}$

$解:(1)∵二次函数图像的顶点在原点，$

$∴可设二次函数的表达式为y=ax².$

$将(2,1)代入函数表达式，得a=\frac{1}{4}$

$∴二次函数的表达式为y=\frac{1}{4}x²$

$(2)将y=1代入y=\frac{1}{4}x²，得x=±2.$

$∴点M、N的坐标分别为(-2,1)、(2,1),$

$此时MN=2-(-2)=4.$

$∵△PMN是等边三角形，$

$∴点P在y轴上，且PM=4.$

$∴PF= \sqrt{4²-2²}=2\sqrt{3}.$

$∵点F的坐标为(0,1),$

$∴点P的坐标为(0,1+2\sqrt{3})或(0,1-2\sqrt{3})$

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