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$解:(1)在y=\frac{3}{4}x+6中，令x=0，则y=6;令y=0，则x=-8$

$∴A(-8,0)、B(0,6).$

$设c(m,\frac{3}{4}m+6),$

$则抛物线M可表示为y=a(x-m)²+\frac{3}{4}m+6.$

$∵抛物线M经过点B，$

$∴am²+\frac{3}{4}m+6=6，且m≠0.$

$∴am=-\frac{3}{4}，即m=-\frac{3}{4a}.$

$将m=-\frac{3}{4a}代入y=a(x-m)²+\frac{3}{4}m+6，整理，得y=ax²+\frac{3}{2}x+6，$

$∴b=\frac{3}{2},c=6$

$y=\frac{3}{16}(x-4\sqrt{2})²或y=\frac{3}{16}(x+4\sqrt{2})² $

$解:(1)把C(0,-3)代入y=(x-1)²+k，得k=-4,$

$∴此抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)²-4，即y=x²-2x-3$

$(2)在y=x²-2x-3中，令y=0，则x=-1或x=3.$

$∴易得 A(-1,0)、B(3,0).$

$∴AB=4.$

$∵P为抛物线上一点，横坐标为m,m＞0,点P位于x轴的下方，$

$∴点P的坐标为(m,m²-2m-3),0＜m＜3,$

$∴S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×(-y_p)=\frac{1}{2}×4×[-(m²-2m-3)]=-2m²+4m+6=-2(m-1)²+8,0＜m＜3.$

$∵-2＜0，$

$∴当m=1时,S_{△ABP}取得最大值，最大值为8$

$(3)由y=(x-1)²-4，得抛物线的顶点坐标为(1,-4).$

$①当0＜m≤1时,h=-3-(m²-2m-3)=-m²+2m;$

$当1＜m≤2时，h=-3-(-4)=1;$

$当m＞2时，h=m²-2m-3-(-4)=m²-2m+1.$