$解:(1)由题意可得:\begin{cases}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{cases}$ $解得b=2,c=3$ $∴抛物线对应的函数表达式为y=-x²+2x+3$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:(2)存在 ∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4, $ $∴顶点M的坐标为(1,4).$ $由点A、M的坐标可求得直线AM对应的函数表达$ $式为y=2x+2,$ $∴D(0,2).$ $假设对称轴上存在点Q，使得以D、M、P、Q$ $为顶点的四边形是平行四边形.$ $∵抛物线y=-x²+2x+3的对称轴为直线x=1,$ $∴点Q的横坐标xQ=1.$ $①当MQ为平行四边形的一边时，$ $MQ//PD,MQ=PD.$ $由MQ//PD,得点P与点C重合，$ $此时PD=CD=3-2=1，$ $∴MQ=1，即|yQ-4|=1，$ $解得yQ=3或5.$ $∴Q_{1}(1,3)、Q_{2}(1,5)$ $.②当MQ为平行四边形的对角线时，$ $MD//PQ,MD=PQ.$ $由D(0,2)、M(1,4),可知$ $点Q先向右平移1个单位长度，再向上平移$ $2个单位长度，得到点P，$ $∴x_P=x_Q+1=2.$ $将x_P=2代入y=-x²+2x+3，$ $得y_P=3,$ $∴y_Q=1,y_P-2=1.$ $∴Q_{3}(1,1).$ $综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D、M、P、$ $Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标$ $为(1,3)或(1,5)或(1,1)$
$解:(2)存在$ $假设在直线l上存在满足条件的点E.$ $设点D的坐标为(m，-m-6)，其中-6＜m＜0.$ $∵B(2,0)、C(0,-6),$ $∴BC²=2²+6²=40,$ $CD²=m²+(-m-6+6)²=2m².$ $∵DE//BC,$ $∴当DE=BC时，$ $以D、C、B、E为顶点的四边形为平行四边形.$ $分两种情况讨论:$ $如图①，连接BD、CE.$ $当BD=BC时，四边形BDEC为菱形,$ $BD²=(m-2)²+(m+6)².$ $∴BD²=BC².$ $∴(m-2)²+(m+6)²=40，$ $解得m_{1}=-4，m_{2}=0(不合题意，舍去).$ $∴点D的坐标为(-4,-2)，$ $易得此时点E的坐标为(-6，-8).$ $如图②，连接BE，$ $当CD=BC时，四边形CBED为菱形$ $∴CD²=BC².\ $ $∴ 2m²=40，$ $解得m_{3}=-2\sqrt{5},m_{4}=2\sqrt{5}(不合题意，舍去).$ $∴点D的坐标为(-2\sqrt{5},2\sqrt{5}-6)，$ $易得此时点E的坐标为(2-2\sqrt{5},2\sqrt{5}).$ $综上所述，直线l上存在点E，使得以D、C、$ $B、E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为$ $(-6,-8)或(2-2\sqrt{5},2\sqrt{5}).$
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