$证明:(2)①根据题意，得∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC.$
$∵△EGF与△EAB位似，且相似比为\frac{1}{2}，$
$∴∠GFE=∠B=90°,GF=\frac{1}{2}AB,EF=\frac{1}{2}BE.$
$∴∠GFE=∠C.$
$∵H是EC的中点，$
$∴EH=HC=\frac{1}{2}EC.$
$∴GF=HC,FH=EF+EH=\frac{1}{2}BE+\frac{1}{2}EC=EC=CD.$
$∴△HGF≌△DHC.$
$∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.$
$由题意，得∠HDC+∠DHC=90°，$
$∴∠GHF+∠DHC=90°.$
$∴∠GHD=180°-(∠GHF+∠DHC)=90°,即GH⊥HD.$
$∴GH=HD，且GH⊥HD$
$②当CH的长为k时，恰好使得GH=HD,且GH⊥HD$
