第69页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专用

$解:(1)P是四边形ABCD的边AB上的“相似点” ，理由：$

$∵在△APD 中，∠A=50°$

$∠ADP+∠APD=130°$

$∵∠DPC=50°，∠APB=180°$

$∴∠APD+∠BPC=130°$

$∴∠ADP=∠BPC$

$又∵ ∠A=∠B，$

$∴△ADP∽△BPC$

$∴P是四边形ABCD的边AB上的“相似点”$

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$证明:(2)∵AB=AC，BD=BC=AD$

$∴∠ABC=∠C=BDC，∠A=∠ABD$

$∵∠BDC=∠A＋∠ABD= 2∠ABD$

$∴∠ABC=2∠ABD$

$∴BD平分∠ABC，BD经过△ABC的内心$

$∴∠CBD=∠ABD=∠A$

$又 ∵∠C=∠C$

$∴△CBD∽△CAB$

$∴BD是△ABC的“内似线”$

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$解：(3) 如图②，连接AP、DP$

$∵P是四边形ABCD的边BC上的一个“强相似点”，$

$∠B=∠C=90°$

$∴△ABP∽△APD∽△PCD，且∠APD= 90°$

$过点A作AE⊥DC，垂足为E，$

$则四边形ABCE为矩形，$

$∴CE=AB=3，AE=BC$

$∵CD=5$

$∴DE=CD-CE=2$

$∵在Rt△AED 中，AD=8，\ $

$由勾股定理，得 AE=\sqrt {{AD}^{2}-{DE}^{2}}=2\sqrt {15}$

$∴BC=2\sqrt {15}$

$设BP=x，则CP=2\sqrt {15}-x$

$∵△ABP∽△PCD$

$∴\frac {AB}{PC}=\frac {BP}{CD}，即\frac 3 {2\sqrt {15}-x}=\frac x 5$

$解得，x_1=x_2=\sqrt {15}$

$∴BP的长为\sqrt {15}$

$解：(3) 如图，设I是ABC的内心，过点I 作IP⊥AB，$

$垂足为P，作IM⊥AC，垂足为M，$

$作IN⊥BC，垂足为N，则IP=IM=IN.$

$在Rt△ABC中，$

$∵∠C=90°，AC=4，BC=3，$

$∴由勾股定理，得AB= \sqrt {{3}^{2}+{4}^{2}}=5$

$由三角形的面积公式，得$

$\frac 12×(3+4+5)·IP=\frac 1 2×3×4$

$∴IP=1$

$∴IM=IN=1$

$如图①，当△CEF∽△CAB时，∠CEF=∠CAB$

$∵IM⊥AC$

$∴∠EMI=90°$

$∴∠EMI=∠ACB=90°$

$∴△MEI∽△CAB$

$∴\frac {EI}{AB}=\frac {IM}{BC}$

$∴EI=\frac {IM·AB}{BC}=\frac 5 3$

$同理，FI=\frac {IN·AB}{AC}=\frac 5 4$

$∴EF=EI+FI=\frac 53 +\frac 5 4=\frac {35}{12}$

$如图②，当△CFE∽△CAB时，$

$同理可得△MEI∽△CBA，△NFI∽△CAB$

$∴EI=\frac {IM·BA}{AC}=\frac 5 4，FI=\frac {IN·AB}{BC}=\frac 5 3$

$∴EF=EI+FI=\frac 5 4 +\frac 5 3=\frac {35}{12}$

$综上所述，EF=\frac {35}{12}$