$解;过点C作CD⊥AB于点D.$
$∵∠A=30°,AC=\sqrt{6},cosA=cos_{30}°=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2},$
$∴AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ $
$∵ sin A=sin_{30}°=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2},∴CD=\frac{\sqrt{6}}{2}.$
$∵tanB=tan_{45}°=\frac{CD}{BD}=1，$
$∴BD=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$∴AB=AD+BD=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}.$
$在Rt△BCD中,由勾股定理，得BC=\sqrt{CD²+BD²}=\sqrt{3}$
