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$解:(1)∵抛物线y=2x²+mx与x轴交于另一点A(2,0)，$

$∴2×2²+2m=0，$

$解得m=-4.$

$∴y=2x²-4x=2(x-1)²-2.$

$∴顶点M的坐标为(1,-2)$

y=2x-4

$解:(1)由题意可得:\begin{cases}{-4-2b+c=0}\\{-1+b+c=0}\end{cases}$

$解得b=-1,c=2$

$(2)∵A(-2,0)、B(1,0),$

$∴AB=1-(-2)=3.$

$由(1)，知二次函数表达式为y=-x²-x+2，$

$设点P的坐标为(m，-m²-m+2),此时点P到x轴的距离为|y_p|=|-m²-m+2|.$

$∵△PAB的面积为6，$

$∴ S_{△PAB}=\frac{1}{2}×AB×|y_p|=\frac{1}{2}×3×|-m²-m+2|=6.$

$化简，得|m²+m-2|=4,即m²+m-2=-4(无解)或m²+m-2=4，$

$解得m_{1}=-3,m_{2}=2.$

$∴点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4)$

$解:(1)∵抛物线C_{1}对应的函数表达式为y=a(x-3)²+2,$

$∴C_{1}的最高点坐标为(3,2).$

$∵点A(6,1)在抛物线C_{1}:y=a(x-3)²+2上，$

$∴ 1=a×(6-3)²+2,解得a=-\frac{1}{9}$

$∴抛物线C_{1}对应的函数表达式为y=-\frac{1}{9}(x-3)²+2.$

$当x=0时,y=-\frac{1}{9}×(-3)²+2=1，即c=1$

$(2)∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A(6,1)的水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，$

$此时嘉嘉所处的位置在点A'处，$

$∴点A'的坐标范围在点(5,1)与点(7,1)之间.$

$当抛物线C_{2}:y=-\frac{1}{8}x²+\frac{n}{8}x+1+1经过点(5，1)时,1=-\frac{1}{8}×5²+\frac{n}{8}×5+1+1，解得n=\frac{17}{5};$

$当经过点(7,1)时,1=-\frac{1}{8}×7²+\frac{n}{8}×7+1+1，解得n=\frac{41}{7}$

$∴\frac{17}{5}≤n≤\frac{41}{7}$

$∴符合条件的n的整数值为4和5$