$解:(1)由题意可得:\begin{cases}{9a-2×3+c=0}\\{c=-3}\end{cases}$
$解得a=1,c=-3$
$∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3$
$(2)P(1,-3)、Q(4,0)或P(1,3)、Q(-2,0)$
$(3)存在,在y=x²-2x-3中,令y=0，得x_{1}=-1，x_{2}=3.$
$∴A(-1,0).$
$又∵ y=x²-2x-3=(x-1)²-4，$
$∴抛物线的顶点D的坐标为(1,-4),对称轴为直线x=1.$
$∵B(3,0),$
$∴ BD²=2²+4²=20,CD²=1²+1²=2,BC²=3²+3²=18.$
$∴CD=\sqrt{2},BC=3 \sqrt{2},BD²=CD²+BC².$
$∴△BDC是直角三角形，且∠BCD=90°.$
$假设存在满足条件的点M.设点M的坐标为(m,0),则点G的坐标为(m,m²-2m-3).$
$根据题意，得∠AMG=∠BCD=90°.$
$∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，需要满足条件\frac{AM}{MG}=\frac{BC}{CD}或\frac{AM}{MG}=\frac{CD}{BC}.$
$①当m＜-1时，有\frac{-1-m}{m²-2m-3}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{-1-m}{m²-2m-3}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{1}=\frac{8}{3},m_{2}=-1或m_{3}=0，m_{4}=-1，都不合题意.$
$∴当m＜-1时，无解.$
$②当m=-1时，点A、M、G重合，无法构成三角形，$
$∴ 不符合题意.\ $
$③ 当-1＜m＜3 时,有\frac{m+1}{-(m²-2m-3)}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{m+1}{-(m²-2m-3)} =\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{5}=\frac{8}{3},m_{6}=-1(不合题意，舍去)或m_{7}=0，m_{8}=-1(不合题意，舍 去).$
$此时存在M(\frac{8}{3},0)或M(0,，0).$
$④当m=3时，点M、G重合，无法构成三角形，$
$∴ 不符合题意.$
$⑤ 当m＞3时，有\frac{m+1}{m²-2m-3}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{m+1}{m²-2m-3}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{9}=\frac{10}{3}，m_{10}=-1(不合题意，舍去)或m_{11}=6,m_{12}=-1(不合题意，舍去).$
$此时存在M(\frac{10}{3},0)或M(6,0).$
$综上所述，存在点M,使得以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为(\frac{8}{3},0)或(0,0)或(\frac{10}{3},0)或(6,0)$
