$解:(2)由(1)，得\frac{BC}{EM}=\frac{BM}{EH}.$ $设EH=y，BM=x.$ $∵BE=10，$ $∴EM=10-x.\ $ $∴\frac{2}{10-x}=y.\ $ $∴ y=-\frac{1}{2}x²+5x=-\frac{1}{2}(x-5)²+12.5.$ $∵-\frac{1}{2}＜0,$ $∴当x=5时，y取得最大值，为12.5.$ $∴HE长的最大值为12.5$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:(2)设BC与DF的交点为I.$ $∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,$ $∴△BID∽△FIC.$ $∴\frac{BI}{FI}=\frac{DI}{CI}，即\frac{BI}{DI}=\frac{FI}{CI}$ $∵∠BIF=∠DIC,$ $∴△BIF∽△DIC.$ $∴∠IBF=∠IDC.$ $∵∠IDC=90°，$ $∴∠IBF=90°$ $∵∠ABC=45°,$ $∴∠ABF= ∠ABC+∠IBF=135°$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:(1)∵DF是由线段DC绕点D按顺时针$ $方向旋转90°得到的，$ $∴∠FDC=90°,FD=CD.$ $∴∠DFC=45°.$ $∵AB=AC,AO⊥BC，$ $∴∠BAO=\frac{1}{2}∠BAC.$ $∵∠BAC=90°,$ $∴∠BAO=∠ABC=45°.$ $∴∠BAO=∠DFC.$ $∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°，$ $∴∠EDA=∠M.$ $∴△ADE∽△FMC$
$解:(1)设BM=x，则ME=10-x.$ $∵四边形ABCD是正方形，$ $∴∠ABC=90°,BC=AB=2.$ $∴∠CBM=90°$ $∵ 四边形EFGH是正方形，$ $∴∠HEF=90°,HE=EF=12.$ $∴∠MEH=90°.$ $∴∠EMH+∠EHM=90°.$ $∵∠PMN=90°,$ $∴∠BMC+∠EMH=90°$ $∴∠BMC=∠EHM.$ $∵∠CBM=∠MEH=90°,$ $∴△BCM∽△EMH.$ $∴\frac{BC}{EM}=\frac{BM}{EH}，$ $即\frac{2}{10-x}=\frac{x}{12}.$ $整理，得x²-10x+24=0，$ $解得x=4或6.$ $经检验，x=4或6均是原分式方程的解，$ $且符合题意.$ $∴BM=4或6.$ $∴点M与点B之间的距离是4或6$
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