$解:(1)∵AC⊥BD,cos∠ABC=\frac{4}{5},$ $∴AB=\frac{BC}{cos∠ABC}=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10.\ $ $∴ 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC= \sqrt{AB²-BC²}= \sqrt{10²-8²}=6$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$证明:(1)连接OD.\ $ $∵AD平分∠BAC,$ $∴∠BAD=∠EAD.$ $∵OA=OD,$ $∴∠OAD=∠ODA.\ $ $∴∠ODA=∠EAD.$ $∵DE⊥AE，$ $∴∠E=90°.$ $∴在Rt△AED中,∠EAD+ ∠ADE=90°.$ $∴∠ODA+∠ADE=90°，$ $即∠ODE=90°.$ $∴OD⊥DE.$ $∵OD是⊙O的半径，$ $∴DE是⊙O的切线$
$解:(2)∵ AB是⊙O的直径，$ $∴∠ADB=90°.$ $∴∠BAD+∠ABD=90°，$ $即∠BAD+∠ABC+∠DBC=90°.$ $∵∠EAD+∠ADE=90°,$ $∴∠EAD+∠ADC+∠CDE=90°.$ $∴∠BAD+∠ABC+∠DBC=∠EAD+∠ADC+∠CDE.$ $∵\widehat{AC}=\widehat{AC},$ $∴ ∠ABC=∠ADC.\ $ $∵ ∠BAD=∠EAD,$ $∴∠DBC=∠CDE.$ $∵\widehat{CD}=\widehat{CD},\widehat{BD}=\widehat{BD},$ $∴ ∠DBC=∠CAD,∠DCB=∠BAD.$ $∵∠CAD=∠BAD,$ $∴∠CDE=∠DBC=∠DCB=∠BAD.$ $∴BD=CD,sin∠CDE=sin∠BAD=\frac{1}{3}\ $ $∵在Rt△CDE中，sin∠CDE=\frac{CE}{CD},CE=1,$ $∴CD=3CE=3×1=3.$ $∴BD=3.$ $∵在Rt∠ABD中，sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3},$ $∴AB=3BD=3×3=9，$ $∴⊙O的直径为9$
$解:(2)过点F作FE⊥BD，垂足为E.$ $∵BF为边AD上的中线，$ $∴DF=AF=\frac{1}{2}AD.$ $∵AC⊥BD,FE⊥BD，$ $∴ FE//AC.$ $∴△DFE∽△DAC.$ $∴\frac{FE}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{DF}{DA}=\frac{1}{2}$ $∴FE=\frac{1}{2}AC=3,DE=\frac{1}{2}CD=2.$ $∴CE=2.$ $∴在Rt△BEF中,tan∠FBD=\frac{FE}{BE}=\frac{3}{8+2}=\frac{3}{10}$
$解:(1)分别过点D、C作DM⊥AB、CN⊥AB，$ $垂足分别为M、N.$ $∵背水坡AD的坡度i=1:0.5，$ $∴在Rt△ADM中，tan∠DAB=\frac{DM}{AM}=2.$ $∴设AM=x\ \mathrm {m}(x＞0)，则DM=2x\ \mathrm {m}.$ $易得四边形DMNC是矩形，$ $∴DC=MN=3m,DM=CN=2x\ \mathrm {m}$ $∵在Rt△BNC中,tan∠ABC=\frac{CN}{BN}，$ $∴BN=\frac{CN}{tan∠ABC}= \frac{2x}{tan_{37}°}≈\frac{8}{3}x(\mathrm {m}).$ $由x+3+\frac{8}{3}x=14，得x=3，$ $∴DM=6m.$ $∴坝高为6m$
$解:(2)过点F作FH⊥AB于点H，$ $过点D作DM⊥AB于点M，$ $则FH=DM,DF=HM.$ $设DF=y\ \mathrm {m}(y＞0)，则AE=2y\ \mathrm {m}$ $由(1)，知DM=6m，AM=3m，$ $∴FH= 6m,$ $EH=AM+AE-HM$ $=3+2y-y=(3+y)m.$ $∴BH=AB+AE-EH$ $=14+2y-(3+y)=(11+y)m.$ $∵EF⊥BF,FH⊥AB，$ $∴易得△EFH∽△FBH.$ $∴\frac{FH}{BH}=\frac{EH}{FH}，$ $即FH²=BH×EH.$ $∴6²=(11+y)(3+y),即y²+14y-3=0，$ $解得y_{1}=-7+2 \sqrt{13},$ $y_{2}=-7-2 \sqrt{13}(不合题意，舍去).$ $∴DF=(2 \sqrt{13}-7)m.$ $∴DF的长为(2 \sqrt{13}-7)m$
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