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第156页

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A

C

$2 \sqrt{10} $

$证明:∵四边形ABCD为菱形$

$∴OC=\frac{1}{2}AC,AC⊥BD$

$∵DE=\frac{1}{2}AC, ∴OC=DE$

$又∵DE//AC,∴四边形OCED为平行四边形$

$∵AC⊥BD，∴∠COD=90°$

$∴平行四边形OCED为矩形.$

$证明:(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°$

$∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB, ∴AC//DE$

$∵MN//AB,即CE//AD$

$∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD$

$(2)四边形BECD是菱形,理由:∵D为AB中点，∴AD=BD$

$∵CE=AD,∴BD=CE$

$∵BD//CE,∴四边形BECD是平行四边形$

$∵DE⊥BC,∴四边形BECD是菱形$

$(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形,理由:$

$当∠A=45°时， ∵∠ACB=90°,∴∠ABC=45°$

$由(2)可知，四边形BECD是菱形,∴∠ABC=∠CBE=45°$

$∴∠DBE=90°,∴四边形BECD是正方形$

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