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第160页

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$证明:(1)∵四边形ABCO是平行四边形$

$∴AB//OC,∴∠BAO=∠AOF$

$由旋转可知$

$∠BAO=∠OAF,AO=AF$

$∴∠OAF=∠AOF，即AF=OF$

$∵AO=AF,∴AF=OF=AO$

$∴△AOF是等边三角形, 由题可知AB=CO=AD=4$

$∵AD经过点O,点A,D在反比例函数y=\frac{k}{x}的图像上$

$由反比例函数的中心对称性，可得OA=OD=2$

$过点A作x轴的垂线，垂足为H$

$∵△AOF是等边三角形，∴OH=1，AH=\sqrt {3}$

$∴A(1,\sqrt {3}),∴k=\sqrt {3}$

$(2)∵a=\frac{k}{x_{1}},b=\frac{k}{x_{2}}$

$∴m^{2}=\frac{\frac {k}{x_{1}}+\frac {k}{x_{2}}}{2k}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}}$

$∴m^{2}-n^{2}=\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}}{2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})}＞0$

$∴m＞n＞0.∵k=\sqrt{3}＞0$

$∴当x＞0时，y随x增大而减小，∴y_{1}\lt y_{2}$

$解:(1)∵点A在y=\frac{6}{x}的图像上$

$∴当x=2时，y=\frac{6}{2}=3$

$∴A(2,3),将点A(2,3)代入y=kx+1，得k=1$

$(2)x\lt -3或0\lt x\lt 2$

$(3)∵y=x+1，∴当x=0时，y=1，∴C(0,1)$

$∵将直线AB沿y轴向$

$ 下平移4个单位,∴CE=4$

$直线DE的表达式为y=x-3$

$设直线DE与x轴交于点H$

$∴当x=0时，y=-3，当y=0时,x=3$

$∴H(3,0),E(0,-3),∴OH=OE=3，∴∠FEC=45°$

$如图，过点C作CG⊥DE,垂足为G$

$由勾股定理可得CG=2\sqrt {2}$

$又∵A(2,3),C(0,1),∴AC=2\sqrt {2}$

$ 连接AD、CF，由平移可得AC//DF,AC=DF$

$∴四边形ACFD为平行四边形$

$∴阴影部分面积等于平行四边形ACFD的面积$

$即2\sqrt {2}×2\sqrt {2}=8$