$解:(2)如图②，在Rt△ABC中，AC=25$
$由旋转得，BE=AB=15$
$过点 B作BM⊥AC于点M$
$由等腰三角形的“三线合一”性质可知$
$AE=2AM$
$在△ABC中使用等面积法可知，AB×BC=AC×BM,解得BM=12$
$在Rt△ABM中，由勾股定理可知$
$AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=9,∴AE=2AM=2×9=18$
$∴CE=AC-AE=25-18=7,∴S_{△BCE}=\frac{1}{2}CE×BM=42$
$故△BCE的面积为42$
$(3)AE⊥CG，理由如下:$
$如图③,将AE与BC的交点记作点P,AE与 CG的交点记作Q$
$由旋转知，∠ABE=∠CBG,AB=BE$
$∴∠BAE=\frac{1}{2}(180°-∠ABE)=\frac{1}{2}(180°-∠CBG)$
$由旋转知，BC=BG,∴∠BCG=\frac{1}{2}(180°-∠CBG)$
$∴∠BAE=∠BCG$
$∵∠APB=∠CPE,∴∠CQP=∠ABC=90°,∴AE⊥CG$
$连接AC、EG,由旋转知，BE=AB=15,BG=BC=20$
$在Rt△AQC中，AQ^{2}+CQ^{2}=AC^{2}=25^{2}=625$
$在Rt△GQE中,QE^{2}+QG^{2}=EG^{2}=25^{2}=625$
$在Rt△CQE中,CE^{2}=CQ^{2}+QE^{2}$
$在Rt△AQG中，AG^{2}=AQ^{2}+GQ^{2}$
$∴CE^{2}+AG^{2}=(CQ^{2}+QE^{2})+(AQ^{2}+GQ^{2})$
$=(CQ^{2}+AQ^{2})+(QE^{2}+QG^{2})=AC^{2}+EG^{2}=1250$
$(4)300$
