$解:(1)连接AD，交x轴于点E$ $∵四边形AODC是菱形,D(1,-2)$ $∴OE=1,ED=2,∴AE=DE=2$ $∴A(1,2)$ $将A(1,2)代入直线y=mx+1$ $可得m+1=2，解得m=1$ $将A(1,2)代入反比例函数y=\frac{k}{x}，可得k=2$ $(2)x\lt 0或x\gt 1 $ $(3)∵OC=2OE=2,AD=2DE=4$ $∴S_{菱形OACD}=\frac{1}{2}OC×AD=4.$ $∵S_{△OAP}=S_{菱形OACD},∴S_{△OAP}=4$ $设点P的坐标为(0,y)，则OP=|y|$ $∴\frac{1}{2}×|y|×1=4,即|y|=8,解得y=8或y=-8$ $∴点P的坐标为(0,8)或(0,-8)$ $解:(3)四边形AECF为矩形$ $对角线长为2$ $四边形BEDF为矩形$ $对角线长为2\sqrt {2}$
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