解：$(1)$当开关$S_1$闭合、$S_2$断开时，电路为灯泡的简单电路，小灯泡$L $恰好正常工作，小灯泡$L $的铭牌标有$''6\ \mathrm {V} 3\ \mathrm {W}''$，
此时灯泡两端电压等于灯泡的额定电压$6\ \mathrm {V}$，灯泡两端的电压也是电源电压，
当开关$S_1$、$S_2$都闭合时，灯泡和电阻并联接入电路，电流表测干路电流，电流表的示数为$0.75\ \mathrm {A}$，
此时电路消耗的总电功率为：$P=UI=6\ \mathrm {V}×0.75\ \mathrm {A}=4.5\ \mathrm {W}$；
$(2)$由$P=UI $可得通过灯泡的电流为：$I_{L}=\frac {P_{L}}{U}=\frac {3\ \mathrm {W}}{6\ \mathrm {V}}=0.5\ \mathrm {A}$，
当开关$S_1$、$S_2$都闭合时，灯泡和电阻并联接入电路，并联电路干路电流等于各支路电流之和，
所以通过电阻的电流为：$I_{R}=I-I_{L}=0.75\ \mathrm {A}-0.5\ \mathrm {A}=0.25\ \mathrm {A}$，
并联电路各并联支路两端电压相等，由欧姆定律可得电阻$R $的阻值为：$R=\frac {U}{I_{R}}=\frac {6\ \mathrm {V}}{0.25\ \mathrm {A}}=24\ \mathrm {Ω}.$
