解：$(1)$依题意$0～5 \mathrm {\mathrm {min}}$内，对应的功率为$1100\ \mathrm {W}$，为加热状态，根据$P=UI=\frac {U^2}{R}$，电路中电阻较小，故$S_1$处于闭合状态$(10-15 \mathrm {\mathrm {min}}$内，对应的功率为$440\ \mathrm {W}$，电路中电阻较大，$S_1$处于断开状态$)$，$R_1$此时的电功率$P_1=1100\ \mathrm {W}$
由$P=UI $得，通过$R_1$的电流$I_1=\frac {P_1}{U_1}=\frac {1100\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=5\ \mathrm {A}$
$(2)30 \mathrm {\mathrm {min}}$内加热时间为$10 \mathrm {\mathrm {min}}+25 \mathrm {\mathrm {min}}-15 \mathrm {\mathrm {min}}=20 \mathrm {\mathrm {min}}$，保温时间为$15 \mathrm {\mathrm {min}}-10 \mathrm {\mathrm {min}})+(30 \mathrm {\mathrm {min}}-25 \mathrm {\mathrm {min}})=10 \mathrm {\mathrm {min}}$，
由$P=\frac {W}{t}$，得$W=Pt$
$W=1.1\ \mathrm {kW}×\frac {20}{60}\ \mathrm {h}+0.44\ \mathrm {kW}×\frac {10}{60}\ \mathrm {h}=0.44\ \mathrm {kW·h}=1.584×10^6\ \mathrm {J}$；
$(3)$依题意$10～15 \mathrm {\mathrm {min}}$内，$S_1$处于断开状态，$R_1$与$R_2$串联，此时电路总功率为$P=440\ \mathrm {W}$，由$(1)$，
根据欧姆定律$I=\frac {U}{R}$，
电阻$R_I=\frac {U}{I_1}=\frac {220\ \mathrm {V}}{5\ \mathrm {A}}=44\ \mathrm {Ω}$，根据$P=UI$，此时电路中的电流：
$I=\frac {P}{U}=\frac {440\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=2\ \mathrm {A}$，根据串联电路电流的规律，通过$R_1$的电流
$I_1=I=2\ \mathrm {A}$
由$P=UI=I^2R $得：$10～15 \mathrm {\mathrm {min}}$内$R_1$的电功率：
$P_1=I_1^2R_1=(2\ \mathrm {A})^2×44\ \mathrm {Ω}=176\ \mathrm {W}.$
