解：$(1)$由图知，只闭合$S $时，电路为$R_{2}$的简单电路；两开关都闭合时，两电阻并联；因为并联电路 的总电阻小于其中任一分电阻，所以根据$P=\frac {U^2}{R}$可知，两开关都闭合时，电路总功率最大，此时电饭锅处于高温烧煮挡，则只闭合$S $时，电饭锅处于低温焖饭挡$.$高温烧煮挡的功率为$660\ \mathrm {W}$，根据$P=UI $可得，高温烧煮时干路中的电流$I=\frac {P_{高}}U =\frac {660\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=3\ \mathrm {A}$
$(2)$由欧姆定$ $律可得，通过$R_{1}$的电流$I_{1}=\frac U{R_{1}}=\frac {220\ \mathrm {V}}{80}=2.75\ \mathrm {A}$，则通过$R_{2}$的电流$I_{2}=I-I_{1}=3\ \mathrm {A}-2.75\ \mathrm {A}=0.25\ \mathrm {A}$，所$ $以$R_{2}=\frac {U}{I_{2}}=\frac {220\ \mathrm {V}}{0.25\ \mathrm {A}}=880\ \mathrm {Ω}$
$(3)$低温焖饭挡的功率$P_{低}=\frac {U^2}{R_{2}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{880\ \mathrm {Ω}}=55\ \mathrm {W}$，电饭锅低温焖饭$0.5\ \mathrm {h} $消耗的电能$W=P_{低}t=55\ \mathrm {W}×0.5×3600\ \mathrm {s}=9.9× 10^4\ \mathrm {J}$
