第29页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

$ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$\frac{\sqrt{5}-1}{2} $

$解:设BC=a，则AB=2a，∴易得AC=\sqrt{5}a$

$由题意，得CD=BC=a.∴AE=AD=\sqrt{5}a-a,∴ BE=AB-AE=3a-\sqrt{5}a$

$∴\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}a-a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{BE}{AE}=\frac {3a-\sqrt {5}a}{\sqrt {5}a-a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$∴\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}，即E是线段AB的黄金分割点$

$解:∵矩形A'B'C'D的面积为57.6,A'D'=6,∴A'B'=9.6$

$∴\frac{AB}{A'B'}=\frac{16}{9.6}=\frac{5}{3}$

$根据矩形的性质，知\frac{DC}{D'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{5}{3}$

$同理，得\frac {BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

$∴\frac {AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{DC}{D'C'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac{5}{3}$

$∵ 矩形的各内角度数都是90°,∴ 矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'相似$

$证明:(1)∵菱形AEFG 与菱形ABCD 相似，∴ ∠GAE=∠DAB$

$∴∠GAE+∠GAB=∠DAB+∠GAB,即∠EAB=∠GAD$

$∵四边形AEFG和四边形ABCD均是菱形，∴AE=AG,AB=AD$

$∴△ABE≌△ADG,∴ EB=GD$

$(2)连接BD,交AC于点O$

$∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2,BO⊥AC,BO=\frac{1}{2}BD$

$∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴ BD = 2,∴ BO = 1$

$在 Rt△AOB 中， AO =\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{3},∴EO=AE+AO=AG+AO=2\sqrt{3}$

$在Rt△BOE中,EB= \sqrt{EO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{13},∴GD=EB=\sqrt{13}$