第41页 - 通城学典课时作业本九年级数学人教版南通专版

2:3

40

60

6

13.5

10

$证明:(1)∵ CE//DF, ∴ ∠ACE=∠D$

$∵ ∠A =∠1,∴△ACE∽△BDF,∴∠E=∠F$

$(2)∵AB:BC:CD=2:2: 1,∴ AC : BD=4 : 3,BC : AC=1 : 2$

$由(1),得△ACE∽△BDF,∴\frac{S_{△ACE}}{S_{△BDF}}=(\frac{AC}{BD})^{2}=\frac{16}{9}$

$设S_{△ACE}=16x，则S_{△BDF}=9x$

$∵∠1=∠A,∴ BG//AE,∴△CBG∽△CAE$

$∴ \frac{S_{△CBG}}{S_{△CAE}}=(\frac{BC}{AC})^{2}=\frac{1}{4}$

$∴S_{△CBG}=\frac{1}{4}×16x = 4x,∴S_{四边形ABGE}=16x-4x=12x,S_{四边形GCDF}=9x-4x=5x$

$∴\frac {S_{△GCDF}}{S_{△ABGE}}=\frac{5x}{12x}=\frac{5}{12}$

$解:(1)设PQ=xmm，则易得PN=2xmm，AE=(80−x)mm$

$∵ 四边形PQMN为矩形，∴ PN//QM，即PN//BC,∴△APN∽△ABC$

$∵易得AE是△APN的高,∴\frac {PN}{BC}=\frac {AE}{AD},解得x=\frac {240}{7}$

$∴2x=\frac {480}{7},∴这个矩形零件的长和宽分别为\frac {480}{7}mm,\frac {240}{7}mm$

$(2)设PN=xmm，PQ=ymm,矩形PQMN的面积为Smm^{2}$

$由题意，易得△APN∽△ABC,AE是△APN的高，∴\frac {PN}{BC}=\frac {AE}{AD},∴y=80−32x$

$∴S=x(80−32x)=−32x^{2}+80x=−32(x−60)^{2}+2400$

$∵0＜x＜120,−32＜0,∴当x=60时,S取得最大值，为2400$

$此时PN=60mm,PQ=80−32×60=40mm，即该矩形零件的长和宽分别为60mm，40mm$