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$证明:(1)∵将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF$

$∴∠DAE=∠BAF,AE=AF,∠EAF=90°$

$∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠AFE=45°$

$∵AE平分 ∠CAD,∴∠DAE=∠CAE,∴∠FAG=∠CAE$

$∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ACD=45°$

$∴ ∠AFG=∠ACE,∴△AFG∽△ACE$

$(2)如图，过点F作BC的平行线，分别交AB,CD于点G，H$

$∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°,AD=CD=BC=AB=4$

$∵E为CD的中点，∴DE=CE=2$

$由折叠，知AF=AD=4,EF=DE=2,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG+∠HFE=90°$

$∵GH//BC,∴易得∠AGF=∠FHE=90°,GH=BC=4,AG=DH$

$∴∠GAF+∠AFG=90°,∴∠GAF=∠HFE,∴△AGF∽△FHE$

$∴\frac{GF}{HE}=\frac{AG}{FH}=\frac{AF}{FE}=\frac{4}{2}=2$

$设FH=x，则AG=2x，GF=4-x，HE=\frac{4-x}{2}$

$∵AG=DH,∴2x=2+\frac{4-x}{2},解得x=\frac{8}{5}$

$∴AG=\frac{16}{5},GF=\frac{12}{5},∴ BG=AB-AG=\frac{4}{5}$

$∴在Rt∠BGF中,BF=\sqrt{BC^{2}+GF^{2}}= \frac{4\sqrt{10}}{5}$

$解:(1)连接BD，交AC于点O$

$∵ 四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=60°$

$∠AOB=90°,AC=2AO$

$在Rt△AOB中,∵AB=12,∴易得AO=6\sqrt{3}$

$∴AC=12\sqrt{3}$

$∵在菱形ABCD中,AD=DC，∴∠DAC=∠DCA$

$由折叠，得AE=EG，∴ ∠DAC=∠EGA,∴ ∠DCA=∠EGA,∴EG//DC$

$∴\frac{DE}{AD}=\frac{CG}{AC},∴\frac{DE}{12}=\frac{3}{12\sqrt{3}},∴ DE= \sqrt{3}$

$(2)∵在菱形ABCD中,∠ABC=120°，∴AD=AB,∠A=60°$

$∴△ABD是等边三角形,∴∠EDG=∠FBG=60°,BD=AB=AD=12$

$由折叠，得∠EGF=∠A=60°$

$又∵∠EGB=∠EGF+∠FGB=∠GED+∠EDG$

$∴∠GED=∠FGB,∴△DEG∽△BGF$

$∴\frac{DE}{BG}=\frac{DG}{BF}=\frac{EG}{GF}$

$设DE=x，则EG=AE=12-x$

$∴\frac{x}{3}=\frac{12-3}{BF}=\frac{12-x}{FG}$

$∴ BF=\frac{27}{x},FG=\frac{36-3x}{x}$

$又∵AB=AF+BF=FG+BF=12,∴\frac{36-3x}{x}+\frac{27}{x}=12，解得x=\frac{21}{5}$

$经检验，x=\frac{21}{5}是原分式方程的解且符合题意$

$∴DE=\frac{21}{5}$