$解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°，∴cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17}$ $设AC=15k,AB=17k(k＞0),则BC= \sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8k$ $∴ sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{17k}=\frac{8}{17},cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8k}{17k}=\frac{8}{17},tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{8k}{15k}=\frac{8}{15}$
$解:过点B作BE//AC交CD于点E$ $∵AC⊥BC，∴ BE⊥BC,即∠CBE=90°$ $∵BE//AC,∴△DBE∽△DAC,∴\frac{DB}{DA}=\frac{BE}{AC}$ $∵BD=AB,∴AD=2BD,∴AC=2BE$ $又∵tan∠BCD=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$ $∴设BE=x，则AC=2x,BC=3x$ $∴在Rt△ABC中，tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$ $证明:(1)连接BD,OC,OD,记AB与CD交于点F$ $∵ {\widehat{BC}}={\widehat{BD}},∴BC=BD$ $∵OC=OD,∴点O,B在CD的垂直平分线上$ $∴OB垂直平分CD,∴∠AFD=90°$ $∵∠ADC=∠AEB,∴CD//BE$ $∴∠ABE=∠AFD=90°∴AB⊥BE$ $∵AB是⊙O的直径，∴ BE是⊙O的切线$ $(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解:∵⊙O的半径为2,∴AB=2×2=4$ $∵ AB 是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°$ $∵BC=3$ $∴ 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得\ $ $AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{7}$ $\ ∴tan∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{3}\ $ $∵ {\widehat{AC}}={\widehat{AC}},∴ ∠ADC=∠ABC$ $∵∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC$ $∴ tan∠AEB=tan∠ABC=\frac{\sqrt{7}}{3} $
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