$解:(1)设Rt△PMN斜边上的高为h$
$由题图，可知BC=MN,FG=h$
$在Rt△PMN中，∵sin∠PMN=\frac{PN}{MN}=\frac{4}{5},PN=4$
$∴MN=5，即BC=5$
$∴PM= \sqrt{MN^{2}-PN^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$
$∵\frac{1}{2}PM×PN=\frac{1}{2}h×MN,∴h=\frac{12}{5}$
$即FG=\frac{12}{5}$
$(2)由题意，可知AB=GH$
$∴ 易得矩形ABCD∽矩形FGHE,∴\frac{AB}{FG}=\frac{BC}{GH},∴AB=2\sqrt{3}$
$(3)S_{表}=\frac{1}{2}×3×4×2+5×2\sqrt{3}+3×2\sqrt{3}+4×2\sqrt{3}=12+24\sqrt{3}$
