$解:(1)∵A(2,3),B(m,-2)两点在反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上$ $∴k=2×3=m×(-2)，∴k=6,m=-3$ $(2)由(1)，可知点B的坐标为(-3,-2),∴点C的坐标为(3,2)$ $设直线AC对应的函数解析式为y=k_{1}x+b$ $则\begin{cases}{ 2k_{1}+b=3 }\ \\ { 3k_{1}+b=2 } \end{cases}解得\begin{cases}{ k_{1}=-1 }\ \\ {b=5\ } \end{cases}$ $∴直线AC对应的函数解析式为y=-x+5$ $解:(1)∵点M(\frac{1}{2},4)在反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上,∴k=\frac{1}{2}×4=2$ $∴反比例函数的解析式为y=\frac{2}{x}$ $又∵点N(n,1)在反比例函数y=\frac{2}{x}的图象上，∴ n=2,∴ N(2,1)$ $设一次函数的解析式为y=ax+b,将M(\frac{1}{2},4),N(2,1)代入得$ $\begin{cases}{\ \frac {1}{2}a+b=4}\ \\ {\ 2a+b=1} \end{cases}解得\begin{cases}{ a=-2 }\ \\ { b=5 } \end{cases}$ $∴一次函数的解析式为y=-2x+5$ $解:(1)由题意，可知C(a+b,a),OE=a+b$ $∵ k=OE×EG=a(a+b)，∴ (a+b)×EG=(a+b)×a,∴EG=a$ $∵G为线段EF的中点，∴ EF=2a,∴OB=CD=EF=2a=b$ $∵a=1，∴G(1,3)$ $设反比例函数的解析式为y=\frac{k}{x},∴k=1×3=3$ $∴反比例函数的解析式为y=\frac{3}{x}$ $(2)由(1)，可知b=2a，∴\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$
$解:设直线l交x轴于点A,交y轴于点B$ $则易得A(\frac{5}{2},0),B(0,5)$ $∴OA=\frac{5}{2},OB=5$ $∴ S_{△OMN}=S_{△AOB}-S_{△MON}-S_{△BOM}$ $=\frac{1}{2}OA×OB-\frac{1}{2}OA ×y_{N}$ $=\frac{1}{2}OB×x_{M}$ $= \frac{15}{4}$
$解:作点M关于y轴的对称点M'$ $连接M'N交y轴于点P,此时PM+PN的值最小$ $为M'N的长$ $∵点M(\frac{1}{2},4)与点M'关于y轴对称$ $∴M'(-\frac{1}{2},4)$ $又∵N(2,1),∴易得直线M'N对应的函数解析式$ $为y=-\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$ $令x=0，则y=\frac{17}{5}$ $∴P(0,\frac{17}{5})$
$解:连接OC,OD,GD,BG$ $过点C作CF⊥x轴于点F$ $由(1)，可知EG=OA=a$ $∴易得点A,D,G共线$ $∴ 易得四边形OAGE是矩形$ $∴ AG//OE,AG=OE$ $∵易得OB=DG$ $∴四边形OBGD是平行四边形$ $∴OP=GP$ $∵△PGC的面积为4$ $∴△OGC的面积为8$ $∵S_{△OAG}=S_{△OCF}=\frac{1}{2}k$ $∴S_{△OGC}=S_{△OAG}+S_{梯形AGCF}-S_{△OCF}$ $=S_{梯形AGCF}=8$ $∴\frac{1}{2}(AG+CF)AF=8$ $∵b=2a$ $∴AG=a+b=3a,CF=a,AF=b=2a$ $∴\frac{1}{2}(3a+a)×2a=8$ $∵a＞0,∴a=\sqrt{2} $
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