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$解:(1)∵ ∠ACB=90°,CD⊥AB,∴ ∠A+∠ABC= ∠DCB+∠ABC=90°,∴∠A=∠DCB$

$∵CD⊥AB,E是AC 的中点，∴ ED=EA,∴∠A=∠EDA$

$∵∠BDF=∠EDA, ∴∠BDF=∠DCB.$

$∵ ∠F=∠F,∴ △BDF∽△DCF,∴\frac{FD}{FC}=\frac{FB}{FD}=\frac{1}{3}$

$(2)∵∠ACB=90°,AC=2\sqrt{15},BC=\sqrt{15},∴ S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{15}×\sqrt{15}=15$

$∵∠ACB=90°,CD⊥AB，∴ ∠BDC=∠CDA=∠ACB$

$∵∠DCB=∠A,∴△BDC∽△CDA,∴\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CA}=\frac{1}{2},∴ \frac{S_{△ABC}}{S_{△CDA}}=\frac{1}{4}$

$∵ S_{△ABC}=15，∴ 易得S_{△BDC}=3$

$∵ △BDF∽△DCF,∴\frac{S_{△BDF} }{S_{△DCF}}=(\frac{BD}{DC})^{2}=\frac{1}{4},∴易得S_{△DCF}=4$

$证明:(1)如图，连接OC$

$∵ OC=OB，∴ ∠B=∠BCO,∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B$

$∵AB⊥CD，∴∠CEO=90°,∴∠COE+∠OCE=90°$

$∵∠FCD=2∠B,∴∠FCD=∠COE,∴∠FCD+∠OCE=90°,∴∠OCF=90°$

$∵ OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线$

$(2)∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴CE=\frac{1}{2}CD=6$

$∵AB=20，∴OC=10,∴OE=\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}=8$

$∵∠OEC=∠OCF=90°,∠COE=∠FOC,∴ △OCE∽△OFC$

$∴ \frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OC},∴\frac{10}{OF}=\frac{8}{10},∴OF=\frac{25}{2}$

$∴EF=OF-OE=\frac{25}{2}-8=\frac{9}{2}$

$证明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°$

$∵ CE⊥AD,∴∠BCE+∠ADC=90°,∴∠CAD=∠BCE$

$(2)如图，过点E作EF⊥BC于点F,∴ ∠CFE=∠BFE=90°$

$∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠BAC=∠B=45°$

$∴∠BEF=45°,∴EF=BF$

$设BF=x，则EF=x,CF=BC-BF=4-x$

$∵∠ACD=90°,∴∠ACD=∠CFE=90°$

$由(1)，知∠CAD=4 ∠FCE,∴ △ACD∽△CFE$

$∴\frac{AC}{CF}=\frac{CD}{FE},∴x=1$

$∴BF=EF=1,∴BE=\sqrt{2}$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$