$解:(1)∵ 点A(\sqrt{6},a)在正比例函数y=x的图象上，∴A(\sqrt{6},\sqrt{6})$
$∵点A(\sqrt{6},\sqrt{6})在反比例函数y=\frac{k}{x}的图象上,∴k=6$
$∴反比例函数的解析式为y=\frac{6}{x}$
$(2)正比例函数图象向下平移n个单位长度后得到的$
$直线BC对应的函数解析式为y=x-n(n＞0)$
$如图，过点B作BQ⊥y轴于点Q，过点C作CH⊥y轴于点H,∴BQ//CH,∴△QBE∽△HCE$
$∵BE:CE=3:2,∴\frac{BE}{CE}=\frac{BQ}{CH}=\frac{3}{2}$
$设QB=3m(m＞0),则CH=2m$
$∴易得B(3m,\frac{2}{m}),C(-2m,-\frac{3}{m})$
$∵点B,C在直线y=x-n上$
$∴联立方程组\begin{cases}{ 3m-n=\frac {2}{m} }\ \\ { -2m-n=-\frac {3}{m} } \end{cases}解得\begin{cases}{ m=1 }\ \\ {\ n=1} \end{cases}或\begin{cases}{ m=-1 }\ \\ { n=-1 } \end{cases}(不合题意,舍去)$
$∴B(3,2),C(-2,-3),直线BC对应的函数解析式为y=x-1$
$∴易得E(0,-1),D(1,0)$
$∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，∴易得G(5,0),∴GD=4$
$∴S_{△BCG}=S_{△BDG}+S_{△CDG}=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×3=10$
