$证明:(1)连接 OC$
$∵ DG=DC, ∴ ∠DGC=∠DCG$
$∵∠DGC=∠AGF,∴ ∠DCG=∠AGF$
$∵ DF⊥AB，∴∠AFG=90°,∴∠A+∠AGF=90°$
$∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠DCG+∠ACO=90°，即∠DCO=90°$
$∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线$
$(2)由(1)，可知∠OCE=90°,∵OC=6,CE=8,∴OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}}=10$
$∵OA=6，F为线段OA 的中点，∴ OF=\frac{1}{2}OA=3,∴EF=13$
$∵∠OCE=∠DFE=90°,∠E=∠E,∴△OCE∽△DFE$
$∴\frac{CE}{FE}=\frac{OC}{DF}$
$∴\frac{8}{13}=\frac{6}{DF},∴DF=\frac{39}{4}$
