$解:(1)∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8,∠B=90°$
$∴BP=BC-CP=3$
$∵AB=4,∴AP= \sqrt{AB^{2}+BP^{2}}=5$
$∴sin∠BAP=\frac{BP}{AP}=\frac{3}{5}$
$(2)如图①，作NG⊥DA，交DA的延长线于点G$
$∵矩形APMN∽矩形ABCD，∴\frac{AN}{AP}=\frac{AD}{AB}=2，∠NAP=∠DAB=90°$
$∴AN=2AP=10，易得∠GAB=∠DAB=∠NAP=90°,∴∠GAN=∠BAP$
$∴NG=ANsin∠GAN=ANsin∠BAP=10×\frac{3}{5}=6$
$∴点N到直线AD的距离为6$
$(3)(3)如图②，当点N在射线DB上时，作NQ⊥DA，交DA 的延长线于点Q$
$由(2)，知∠QAN=∠BAP$
$∵∠Q=∠ABP=90°,∴△ABP∽△AQN$
$∴\frac{AB}{AQ}=\frac{AP}{AN}=\frac{1}{2},∴AQ=2AB=8$
$∴DQ=AQ+AD=16$
$∵tan∠ADB=\frac{NQ}{DQ}=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2},∴NQ=\frac{1}{2}DQ=8,∴AQ=NQ$
$∴∠BAP=∠QAN=45°,∴BP=AB=4,∴CP=BC-BP=4$
$如图③,当点M在射线DB上时，过点P作WP⊥BC，交AD于点W$
$过点M作MV⊥WP,交WP的延长线于点V,设PW与BD的交点为R$
$∴∠AWP=∠V=90°,∴∠APW+∠PAW=90°$
$∵∠APM=90°,∴∠APW+∠MPV=90°,∴∠MPV=∠PAW,∴△PMV∽△APW$
$∴ \frac{MV}{PW}=\frac{PV}{AW}=\frac{MP}{PA}=2$
$∴MV=2PW,PV=2AW$
$∵易知四边形ABPW为矩形，∴PW=AB=4,∴MV=8$
$设BP=AW=a，则PV=2a$
$∵tan∠RMV=tan∠RBP=tan∠ADB,∴\frac{RV}{MV}=\frac{PR}{BP}=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{2}$
$∴ PR=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}a$
$∴ a=\frac{8}{5}$
$∴BP=\frac{8}{5}$
$∴CP=BC-BP=8-\frac{8}{5}=\frac{32}{5}$
$综上所述,CP=4或\frac{32}{5}$
