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第43页

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C

A

B

23

$(10 \sqrt{5}-10)$

$(\sqrt{5}-1)$

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$证明:(1)连接 O P. 因为 O A=O P，$

$所以 \angle P A O=\angle A P O.$

$由折叠的性质，得 A E=A B， \angle P A O=\angle P A B，$

$所以 \angle A P O=\angle P A B，$

$所以 A B / / O P，$

$所以 \angle A B C=\angle O P C.$

$因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 \angle A B C=90^{\circ}，$

$所以 \angle O P C=90^{\circ}，$

$所以 O P \perp B C.$

$因为点 P 在 \odot O 上，$

$所以直线 B C 是 \odot O 的切线.$

$解:(2)\ \mathrm {F} 是线段 B C 的黄金分割点.理由如下：$

$因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 A B=C D=2， B C=A D=4. \angle D=90^{\circ}，$

$所以 A C=\sqrt{A D^2+C D^2}=2 \sqrt{5}.$

$因为 A E=A B=2，$

$所以 C F=C E=A C-A E=2 \sqrt{5}-2 ，$

$所以 \frac {C F}{B C}=\frac {\sqrt{5}-1}{2}，$

$所以 F 是线段 B C 的黄金分割点.$

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