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D

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$\frac{\sqrt{5}-1}{2} $

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$解：(1) 因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 \angle A B P=90^{\circ}.$

$因为 B Q \perp A P，$

$所以 \angle B Q P=90^{\circ}，$

$所以 \angle A B P=\angle B Q P.$

$又 \angle A P B=\angle B P Q，$

$所以 \triangle A B P \backsim \triangle B Q P.$

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