第57页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

D

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$\frac{\sqrt{5}-1}{2} $

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$解：(1) 因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 \angle A B P=90^{\circ}.$

$因为 B Q \perp A P，$

$所以 \angle B Q P=90^{\circ}，$

$所以 \angle A B P=\angle B Q P.$

$又 \angle A P B=\angle B P Q，$

$所以 \triangle A B P \backsim \triangle B Q P.$

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$证明：(1)因为 A B=A C，$

$所以 \angle C=\angle B.$

$因为 C F= B E，$

$所以 C F-E F=B E-E F，$

$所以 C E=B F.$

$在 \triangle A C E 和 \triangle A B F 中，$

$\{\begin{array}{l}A C=A B， \\ \angle C=\angle B， \\ C E=B F，\end{array}.$

$所以 △ACE≌\triangle A B F，$

$所以 \angle C A E=\angle B A F.$

$解:(2) 因为 \triangle A C E ≌ \triangle A B F，$

$所以 A E=A F.$

$因为 A E^2=A Q \cdot A B，$

$所以 \frac {A E}{A Q}=\frac {A B}{A E}=\frac {A B}{A F}.$

$因为 A B=A C，$

$所以 \frac {A E}{A Q}=\frac {A C}{A F}.$

$又 \angle C A E=\angle B A F，$

$所以 \triangle A C E \backsim \triangle A F Q，$

$所以 \angle A E C=\angle A Q F.$

$因为 \angle A E C+\angle A E F=180^{\circ}，\ $

$\angle A Q F+\angle B Q F=180^{\circ}，$

$所以 \angle A E F=\angle B Q F.$

$因为 A E=A F，$

$所以 \angle A E F=\angle A F E，$

$所以 \angle A F E=\angle B Q F.$

$又 \angle C=\angle B，$

$所以 \triangle C A F \backsim \triangle B F Q，$

$所以 \frac {C F}{B Q}=\frac {A F}{F Q}，$

$即 C F \cdot F Q=A F \cdot B Q.$

$解:(2) 因为 \triangle A B P \backsim \triangle B Q P，$

$所以 \frac {P B}{P Q}=\frac {P A}{P B}，$

$所以 P B^2=P Q \cdot P A.$

$因为 P 为 B C 的中点，$

$所以 P B=P C，$

$所以 P C^2=P Q \cdot P A，$

$所以 \frac {P C}{P A}=\frac {P Q}{P C}.$

$又 \angle C P Q=\angle A P C，$

$所以 \triangle C P Q \backsim \triangle A P C，$

$所以 \angle C Q P=\angle A C P.$

$因为 \angle B A C=37^{\circ}， \angle A B C=90^{\circ}，$

$所以 \angle C Q P=\angle A C P=90^{\circ}-\angle B A C=53^{\circ}.$