第69页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

D

$6\sqrt{2}-6 $

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：(1) 证明：因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 A B / / C D，$

$所以 \angle Q P A=\angle Q D C， \angle Q A P=\angle Q C D，$

$所以 △APQ∽△CDQ.$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(2) ①由题意，得 P A=t.$

$因为四边形 A B C D 是矩形，$

$所以 A D=B C=10， D C=A B=20，\ $

$\angle B A D=\angle A D C=90^{\circ}.$

$当 D P \perp A C 时， \angle C Q D=90^{\circ}，$

$所以 \angle D C A+\angle Q D C=90^{\circ}.$

$因为 \angle A D P+\angle Q D C=90^{\circ}，$

$所以 \angle D C A=\angle A D P.$

$因为 \angle A D C=\angle P A D=90^{\circ}，$

$所以 \triangle A D C ∽ \triangle P A D，$

$所以 \frac {A D}{P A}=\frac {D C}{A D}，$

$所以 \frac {10}{P A}=\frac {20}{10}，$

$所以 P A=5，$

$所以 t=5.$

$故当 t 的值为 5 时， D P \perp A C.$

$②设 \triangle A P Q 的边 P A 上的高为 h，\ $

$则 \triangle C D Q 的边 D C 上的高为 10-h.$

$因为 \triangle A P Q \backsim \triangle C D Q，$

$所以 \frac {h}{10-h}=\frac {P A}{D C}=\frac {t}{20}，$

$所以 h=\frac {10\ \mathrm {t}}{20+t}，$

$所以 10-h=10-\frac {10\ \mathrm {t}}{20+t}=\frac {200}{20+t}，$

$所以 S_{\triangle A P Q}=\frac {1}{2}\ \mathrm {P}\ \mathrm {A} \cdot h=\frac {5\ \mathrm {t}^2}{20+t}，\ $

$S_{\triangle C D Q}=\frac {1}{2}\ \mathrm {D}\ \mathrm {C} \cdot(10-h)=\frac {2000}{20+t}，$

$所以 y=S_{\triangle A P Q}+S_{\triangle C D Q}=\frac {5\ \mathrm {t}^2}{20+t}+\frac {2000}{20+t}$

$=\frac {5\ \mathrm {t}^2+2000}{20+t}.$

$因为 20 \div 1=20(\mathrm {s})，$

$所以 0 \leqslant t \leqslant 20.$

$故 y 与 t 之间的函数表达式为 y=\frac {5\ \mathrm {t}^2+2000}{20+t}(0 \leqslant t \leqslant 20).$

$证明：(1) 因为 \angle A C B=90^{\circ}， A C=B C，$

$所以 \angle A B C=\angle B A C=\frac {1}{2}(180^{\circ}-\angle A C B)=45^{\circ}，$

$所以 \angle P B A+\angle P B C=45^{\circ}.$

$因为 \angle A P B=135^{\circ}，$

$所以 \angle P B A+\angle P A B=180^{\circ}-\angle A P B=45^{\circ}，$

$所以 \angle P A B=\angle P B C.$

$又 \angle A P B=\angle B P C，$

$所以 \triangle P A B ∽ \triangle P B C.$

$解:(2) 因为 \triangle P A B \backsim \triangle P B C，$

$所以 \frac {P A}{P B}=\frac {P B}{P C}=\frac {A B}{B C}.$

$因为 \angle A C B=90^{\circ}， A C=B C，$

$所以 A B=\sqrt{A C^2+B C^2}=\sqrt{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}，$

$所以 P B=\sqrt{2}\ \mathrm {P}\ \mathrm {C}， P A=\sqrt{2}\ \mathrm {P}\ \mathrm {B}，$

$所以 P A=2\ \mathrm {P}\ \mathrm {C}.$

$解:(3) 过点 P 分别作 P D \perp B C 于点 D， P E \perp A C 于点 E，\ $

$则 \angle A E P=\angle C D P=90^{\circ}.$

$因为 \angle A P B=\angle B P C=135^{\circ}，$

$所以 \angle A P C=360^{\circ}-(\angle A P B+\angle B P C)=90^{\circ}，$

$所以 \angle E A P+\angle A C P=90^{\circ}.$

$因为 \angle A C B=90^{\circ}，$

$所以 \angle D C P+\angle A C P=90^{\circ}，$

$所以 \angle E A P=\angle D C P，$

$所以 \triangle A E P \backsim \triangle C D P，$

$所以 \frac {P E}{P D}=\frac {P A}{P C}=2，即 \frac {h_3}{h_2}=2，$

$所以 h_3=2\ \mathrm {h}_2.$

$因为 \triangle P A B \backsim \triangle P B C，$

$所以 \frac {h_1}{h_2}=\frac {A B}{B C}=\sqrt{2}，$

$所以 h_1=\sqrt{2}\ \mathrm {h}_2，$

$所以 h_1^2=2\ \mathrm {h}_2^2=h_2 \cdot 2\ \mathrm {h}_2=h_2 \cdot h_3.$