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18°

$\frac{5}{2}$

$解：∵ D、E分别是AB、BC的中点，DE=2.5，$

$∴ DE是△ABC的中位线.$

$∴ AC=2DE=5.\ $

$∵ AB=13,BC=12,$

$∴AC²+BC²=5²+12²=169,AB²=13²=169.\ $

$∴AC²+BC²=AB².$

$∴∠ACB=90°$

$在Rt△ABC中，∵ D是AB的中点，$

$∴AD=CD=\frac{1}{2}AB=6.5.$

$∴△ACD的周长=AC+AD+CD=18$

$解：∵ 四边形ABCD是正方形，$

$∴∠BCD=90°,BC=DC,BO=DO.\ $

$∵在Rt△DCE中，F为DE的中点，$

$∴CF=EF=DF=\frac{1}{2}DE.$

$∵CE=7，△CEF的周长为32，$

$∴ DE=25.$

$∴在Rt△DCE中,DC= \sqrt{DE²-CE²}= \sqrt{25²-7²}=24.$

$∴ BE=BC-CE=DC-CE=17.$

$∵BO=DO,F为DE的中点，$

$∴OF是△DBE的中位线.$

$∴OF=\frac{1}{2}BE=\frac{17}{2}$

$证明：(1)∵BD、CE是△ABC的中线$

$∴D、E分别是AC、AB的中点$

$∴DE是△ABC的中位线$

$∴DE//BC，DE=\frac{1}{2}BC$

$同理，可得FG//BC，FG=\frac{1}{2}BC$

$∴DE//FG，DE=FG$

$∴四边形DEFG是平行四边形$

$(2)由(1)，知四边形DEFG是平行四边形.$

$∴ OF=OD.$

$又∵ F是OB的中点，$

$∴ BF=OF.$

$∴DF=\frac{2}{3}BD.$

$同理，可得EG=\frac{2}{3}CE.$

$∵ BD=CE,$

$∴ DF=EG.$

$∵四边形DEFG是平行四边形，$

$∴四边形DEFG是矩形$

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