$(1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，G、F分别为BH、CH的中点$
$∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线$
$∴DE//BC，DE=\frac{1}{2}BC，GF//BC，GF=\frac{1}{2}BC$
$∴DE//GF，DE=GF$
$∴四边形DEFG为平行四边形$
$(2)解：∵四边形DEFG 为平行四边形，$
$∴ DG=EF=2.\ $
$∵ DG⊥BH，$
$∴∠DGB=90°.\ $
$∴ 在 Rt△BGD 中，BG= \sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
