$解：过点 D 作 D H \perp A C 于点 H，\ $
$则 \angle A H D=\angle C H D=90^{\circ}.$
$因为 \angle C=37^{\circ}，$
$所以 C H=\frac {D H}{\tan C} \approx \frac {4}{3}\ \mathrm {D}\ \mathrm {H}.$
$因为 \angle A B D=45^{\circ}，$
$所以 B H=\frac {D H}{\tan \angle A B D}=D H，$
$所以 B C=C H-B H=\frac {1}{3}\ \mathrm {D}\ \mathrm {H}.$
$因为 B C=6\ \mathrm {\ \mathrm {km}}，$
$所以 D H=3\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=18\ \mathrm {\ \mathrm {km}}.$
$因为 \angle A D H= 26^{\circ}，$
$所以 A D=\frac {D H}{\cos \angle A D H} \approx \frac {18}{0.90}=20(\ \mathrm {\ \mathrm {km}}).$
$故轮船航行的距离 A D 约为 20\ \mathrm {\ \mathrm {km}}.$
