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$解：(1)y=-x^2+(a+1)x-a，$

$当y=0时，-x^2+(a+1)x-a=0，$

$解得x_1=a，x_2=1.$

$由图形可知a＜0$

$∴A(a，0)，B(1，0).$

$当x=0时，y=-a，$

$∴C(0，-a).$

$∵S_{△ABC}=6，$

$∴\frac {1}{2}(1-a)(-a)=6，解得a=-3或a=4(舍)，$

$∴a=-3.$

$(2)由(1)知，A(-3，0)，B(1，0)，C(0，3)，$

$∴直线AC的表达式为：y=x+3，AC中点坐标为(-\frac {3}{2}，\frac {3}{2})，$

$∴直线AC的中垂线的表达式为：y=-x.$

$直线AB的中垂线为：x=-1.$

$解\{ \begin{array}{l}{y=-x} \\ {x=-1} \end{array} ，$

$解得\{ \begin{array}{l}{x=-1} \\ {y=1} \end{array} .$

$∴外接圆圆心坐标为(-1，1).$

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$解:(3)如图②，作PM⊥x轴.$

$则S_{△PAB}=\frac {1}{2}AB·PM=\frac {1}{2}×4d=2d，$

$∴S_{△PAB}=S_{△QPB}，$

$∴点A、Q到直线PB的距离相等，$

$∴AQ∥PB.$

$∵直线AC的表达式为：y=x+3，$

$∴设直线PB的解析式为：y=x+b.$

$∵B(1，0)，$

$∴直线PB的解析式为：y=x-1.$

$联立\{ \begin{array}{l}{y=-{x}^2-2x+3} \\ {y=x-1} \end{array} ，$

$解得\{ \begin{array}{l}{{x}_1=-4} \\ {{y}_1=-5} \end{array} 或\{ \begin{array}{l}{{x}_2=1} \\ {{y}_2=0} \end{array} .(舍去)，$

$∴点P的坐标为(-4，-5).$

$又∵∠PAQ=∠AQB，AQ∥PB，$

$∴GQ=GA，∠PBQ=∠AQB，$

$∴∠APB=∠PAQ=∠AQB=∠PBQ，$

$∴GB=GP，$

$∴GB+GQ=GP+GA，即BQ=AP，$

$∴△PBQ≌△BPA，$

$∴PQ=AB=4.$

$设Q(m，m+3)，$

$由PQ=4得：(m+4)^2+(m+3+5)^2=4^2，$

$解得m=-4，m=-8(舍去)，$

$∴点Q的坐标为(-4，-1).$