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$证明：(1)因为 B C^2=B D \cdot B A，$

$所以 \frac {B D}{B C}=\frac {B C}{B A}.$

$又 \angle C B D=\angle A B C，$

$所以 \triangle B C D \backsim \triangle B A C，$

$所以 \angle B C D=\angle A.$

$因为 C D 平分 \angle B C E，$

$所以 \angle E C D=\angle B C D，$

$所以 \angle E C D=\angle A.$

$又 \angle E D C=\angle C D A，$

$所以 \triangle C E D \backsim \triangle A C D.$

$(2)因为 \triangle B A C \backsim \triangle B C D，$

$所以 \frac {B A}{B C}=\frac {A C}{C D}.$

$因为 \triangle C E D \backsim \triangle A C D，$

$所以 \frac {C E}{A C}=\frac {E D}{C D}，$

$所以 \frac {C E}{E D}=\frac {A C}{C D}，$

$所以 \frac {B A}{B C}=\frac {C E}{E D}.$

$证明:(1)连接BO并延长交AD于点H，连接OD.\ $

$因为AB=BD,OA=OD,$

$所以点B，O都在AD的垂直平分线上，$

$所以BH垂直平分AD，$

$所以∠OBA=∠OBD.$

$因为BE为⊙O的切线，$

$所以OB⊥BE，$

$所以∠OBE=90°，$

$所以∠OBD+∠DBE=90°$

$因为OA=OB，$

$所以∠OAB=∠OBA,$

$所以∠OAB=∠OBD.$

$因为∠BDE=∠OAB，$

$所以∠BDE=∠OBD,$

$所以∠BDE+∠DBE=90°,$

$所以∠E=90°，$

$所以DE⊥BE.$

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